Para aplicar la ecuación 4.25, primero debemos calcular $f(x_0, y_0), f_x(x_0, y_0)$, y $f_y(x_0, y_0)$ utilizando $x_0 = 2$ y $y_0 = 3$:
$$\begin{aligned} f(x_0, y_0) &= f(2, 3) = \sqrt{41-4(2)^2-(3)^2} = \sqrt{41-16-9} =\sqrt{16} = 4\\ f_x(x, y) &= -\frac{4x}{\sqrt{41-4x^2-y^2}}\;entonces\; f_x(x_0, y_0)= -\frac{4(2)}{\sqrt{41-4(2)^2-(3)^2}} = -2\\ f_y(x, y) &= -\frac{y}{\sqrt{41-4x^2-y^2}}\;entonces\; f_y(x_0, y_0)= - \frac{3}{\sqrt{41-4(2)^2-(3)^2}} = -\frac34 \end{aligned}$$Ahora sustituimos estos valores en la ecuación 4.25:
$$\begin{aligned} L(x, y) &= f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x − x_0) + f_y(x_0, y_0)(y − y_0)\\ &= 4 − 2(x − 2) − \frac34 (y − 3)\\ &= \frac{41}{4} − 2x − \frac34 y \end{aligned}$$Por último, sustituimos $x = 2.1$ e $y = 2.9$ en $L(x, y)$:
$$L(2.1, 2.9) = \frac{41}{4} − 2(2.1) − \frac34 (2.9) = 10.25 − 4.2 − 2.175 = 3.875.$$El valor aproximado de $f(2.1, 2.9)$ a cuatro decimales es
$$f(2.1, 2.9) = \sqrt{41-4(2.1)^2 - (2.9)^2} = \sqrt{14.95} \approx 3.8665$$que corresponde a un error de aproximación del 0.2%