Primero calculamos $\frac{\partial f}{\partial x}$ usando la Ecuación 4.14, luego calculamos las otras dos derivadas parciales manteniendo constantes las variables restantes. Para usar la ecuación para encontrar $\frac{\partial f}{\partial y}$, primero necesitamos calcular $f (x + h, y, z)$:
$$\begin{aligned} f(x+h,y,z) &= (x+h)^2−3(x+h)y+2y^2−4(x+h)z+5yz^2−12(x+h)+4y−3z\\ &= x^2+2xh+h^2−3xy−3xh+2y^2−4xz−4hz+5yz^2−12x−12h+4y−3z \end{aligned}$$y recuerda que $f (x, y, z) = x^2−3xy + 2y^2−4zx + 5yz^2−12x + 4y − 3z$. A continuación, sustituimos estas dos expresiones en la ecuación:
$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= \lim\limits_{h \to 0}\bigg[\frac{x^2+2xh+h^2−3xy−3hy+2y^2−4xz−4hz+5yz^2−12x−12h+4y−3z}{h}\\ & - \frac{x^2−3xy+2y^2−4xz+5yz^2−12x+4y−3z}{h}\bigg]\\ &= \lim\limits_{h \to 0}\bigg[\frac{2xh+h^2−3hy−4hz−12h}{h}\bigg]\\ &= \lim\limits_{h \to 0}\frac{h(2x+h−3y−4z−12)}{h}\\ &= \lim\limits_{h \to 0}(2x+h−3y−4z−12)\\ &= 2x-3y-4z-12 \end{aligned}$$Luego encontramos $\frac{\partial f}{\partial y}$ manteniendo constante $x$ y $z$. Por lo tanto, cualquier término que no incluya la variable $y$ es constante, y su derivada es cero. Podemos aplicar las reglas de suma, diferencia y potencia para funciones de una variable:
$$\begin{aligned} &\frac{\partial }{\partial y}\big[x^2−3xy+2y^2−4xz+5yz^2−12x+4y−3\big]\\ &= \frac{\partial }{\partial y}\big[x^2\big] - \frac{\partial }{\partial y}\big[3xy\big] + \frac{\partial }{\partial y}\big[2y^2\big] - \frac{\partial }{\partial y}\big[4xz\big] + \frac{\partial }{\partial y}\big[5yz^2\big] - \frac{\partial }{\partial y}\big[12x\big] + \frac{\partial }{\partial y}\big[4y\big] - \frac{\partial }{\partial y}\big[3\big]\\ &= 0−3x+4y−0+5z^2−0+4−0\\ &= -3x+4y+5z^2+4 \end{aligned}$$Para calcular$\frac{\partial f}{\partial y}$, mantenemos constantes $x$ e $y$ y aplicamos las reglas de suma, diferencia y potencia para las funciones de una variable:
$$\begin{aligned} &\frac{\partial }{\partial z}\big[x^2−3xy+2y^2−4xz+5yz^2−12x+4y−3z]\big]\\ &= \frac{\partial}{\partial z}\big[x^2 \big] - \frac{\partial}{\partial z}\big[3xy\big] + \frac{\partial}{\partial z}\big[2y^2 \big] - \frac{\partial}{\partial z}\big[4yz\big] + \frac{\partial}{\partial z}\big[5yz^2 \big] - \frac{\partial}{\partial z}\big[12x\big] + \frac{\partial}{\partial z}\big[4y\big] - \frac{\partial}{\partial z}\big[3z\big]\\ &= 0−0+0−4x+10yz−0+0−3\\ &= -4x+10yz \end{aligned}$$