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Ejercicio 1.
Calcular el área de una región acotada por la curva $$f(x)=x^2+5$$ y las rectas
$$x=1, \space x=4$$

Solución. $$ A=\int_{a}^{b} f(x)\, dx =\int_{1}^{4} (x^2+5)\, dx $$

$\begin{aligned} A=\int_{1}^{4} (x^2+5)\, dx &= \frac{x^3}{3}+5x \space\space \bigg|_{1}^{4} \\ &= \frac{4^3}{3}+5(4) -\bigg( \frac{1^3}{3}+5(1) \bigg)\\ &= \frac{63}{3}+15=36\\ \end{aligned}$

por tanto, $\displaystyle\qquad A= \int_{1}^{4} (x^2+5)\, dx =36 u^2$

Ejercicio 2.
Calcular el área encerrada por las funciones $$g(x)=7-x$$ $$f(x)=x^2+10x+31$$

Solución.

Se debe hallar los puntos de corte entre las funciones, para esto, se igualan las funciones y se hallan los valores de $x$: $$7-x=x^2+10x+31$$ $$x^2+11x+24=0$$ $$(x+8)(x+3)=0$$ por lo tanto, $x=-8, x=-3$ $$ A=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx $$ $$ A=\int_{-3}^{-8} (7-x-(x^2+10x+31))\, dx $$ $\begin{aligned} A=\int_{-3}^{-8} (-x^2-11x-24)\, dx &= -\frac{x^3}{3}-\frac{11}{2}x^2-24x \space\space \bigg|_{-3}^{8} \\ &= \frac{63}{2}-\frac{32}{3}=\frac{125}{6}\\ \end{aligned}$

por tanto, $\displaystyle\qquad A= \int_{-3}^{-8} (-x^2-11x-24)\, dx =\frac{125}{6} u^2$

Ejercicio 3.
Cálcular del volúmen de un sólido formado entre el intervalo $[0, 3]$ y las funciones
$f(x)=x$ y $\displaystyle g(x)= \frac{x}{2}$,
al rotar en el eje $x$.

Solución.

Sólido de sección hueca, para esto utilizamos la expresión: $$ V=\pi \int_{a}^{b} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx=\pi \int_{0}^{3} (x^2 - (\frac{x}{2})^2) \, dx$$ $$\begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{3} (x^2 - (\frac{x}{2})^2) \, dx \\ &= \pi \int_{0}^{3} (x^2 - \frac{x^2}{4}) \, dx \\ &= \pi \int_{0}^{3} \frac{3}{4}x^2 \, dx \\ &= \pi \Big[{\frac{3}{4}x^2} \space \Big]_{0}^{3} \\ &= \pi \Big[{\frac{3}{4}(3)^2}-{\frac{3}{4}(0)^2}\Big] \\ &= \frac{27}{4}\pi \end{aligned}$$ Por lo tanto, $$V = \pi \int_{0}^{3} (x^2 - (\frac{x}{2})^2) \, dx = \frac{27}{4}\pi \space u^3$$


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