Según los datos, finalizado el 1º semestre la fracción de la clientela que tiene A puede obtenerse así:
\[0,70\;{a_0}\; + \;0,10\;{b_0}\; + \;0,10\;{c_0}\; = \;{a_1}\]
¿Qué ecuaciones permiten obtener \({b_1}\) y \({c_1}\)?
Resulta entonces el siguiente sistema: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,70{a_0} + 0,10{b_0} + 0,10{c_0} = {a_1}}\\{0,15{a_0} + 0,85{b_0} + 0,10{c_0} = {b_1}}\\{0,15{a_0} + 0,05{b_0} + 0,80{c_0} = {c_1}}\end{array}} \right.\]
El lector puede comprobar que este sistema puede expresarse mediante un producto de matrices como sigue:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{0,70}&{0,10}&{0,10}\\{0,15}&{0,85}&{0,10}\\{0,15}&{0,05}&{0,80}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_0}}\\{{b_0}}\\{{c_0}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}\\{{b_1}}\\{{c_1}}\end{array}} \right)\]
O sea: \[M{X_0} = {X_1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]
La matriz \(M \in {\mathbb{R}^{3×3}}\) , que caracteriza la evolución del sistema, se denomina matriz de transición.
¿Qué características presenta esta matriz de transición?
1) Todos sus elementos son números reales comprendidos entre 0 y 1.
2) La suma de los elementos de cada columna es 1.
Las matrices cuadradas que cumplen estas dos condiciones se denominan matrices estocásticas o matrices de probabilidad.
Como la matriz de transición se mantiene para el 2º período, la fracción de clientes para el tiempo \(t\;=\;2\) puede calcularse como:
\[M{X_1} = {X_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]\]
De [1] y [2] se deduce que: \(\;{X_2} = {M^2}{X_0}\)
Si los porcentajes de cambio de clientela no cambian en los períodos siguientes, entonces \(M\) no cambia cuando se pasa del estado \((n – 1\)) al estado \(n\).
Por lo tanto:
O sea, para obtener cómo se distribuyen los clientes luego de \(n\) períodos, podemos proceder así:
\[X_n=M^nX_0\]
Suponiendo que inicialmente las tres empresas se reparten por partes iguales la clientela, les pedimos que calculen cómo resulta la distribución de clientes:
Observen luego de hacer los cálculos que en la medida en que el tiempo pasa, las cuotas de mercado de las empresas tienden a estabilizarse.
4. Responder las mismas preguntas suponiendo que inicialmente las cuotas de mercado de las empresas A, B y C son respectivamente: 0,5 , 0,35 y 0,15.
5. ¿Se produce el mismo fenómeno de estabilización en este caso?