Dados \(\vec u = \left( {1, - 1, 1} \right),\;\vec v = \left( {2,0,2} \right)\;\;y\;\overrightarrow {\;w} = \left( { - 1, 3, - 1} \right)\) , ¿Existen \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) tales que
\(\vec w = \alpha .\vec u + \beta .\vec v\;\)?
Para responderlo escribiremos la igualdad y trataremos de calcular \(\alpha \), y \(\beta \):
\[\left( { - 1,3, - 1} \right) = \alpha .\left( {1, - 1,1} \right) + \beta .\left( {2,0,2} \right)\;\]
\[\left( { - 1,3, - 1} \right) = \left( {\alpha + 2\beta , - \alpha ,\alpha + 2\beta } \right)\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 = \alpha + 2\beta }\\{3 = - \alpha }\\{ - 1 = \alpha + 2\beta }\end{array}} \right.\; \Rightarrow \;\;\alpha = - 3 \; \wedge \; \beta = 1\]
\[\left( { - 1,3, - 1} \right) = - 3.\left( {1, - 1,1} \right) + 1.\left( {2,0,2} \right)\;\]
Como existen \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) tales que \(\vec w = \alpha .\vec u + \beta .\vec v\) , diremos que \(\vec w\) es combinación lineal de \(\vec u\) y \(\vec v\). Más adelante desarrollaremos el concepto de combinación lineal.
Podemos visualizar esto en un gráfico:
Pero esto puede llevarnos a la pregunta:
Dados tres vectores \(\vec u,\;\overrightarrow {\;v} ,\;\overrightarrow {\;w} \;\) de \(\;{\mathbb{R}^3},\;\) ¿es siempre posible encontrar los números reales \(\alpha \;y\;\beta \;\) tales que \(\vec w = \alpha .\vec u + \beta .\vec v \) ?
Veamos otro ejemplo para responderla.
Si los vectores fueran:
\[\vec u = \left( {2, - 3,4} \right)\]
\[\vec v = \left( { - 5,1,0} \right)\]
\[\vec w = \left( {4,2,1} \right)\]
Veamos si existen \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) tal que \(\vec w = \alpha .\vec u + \beta .\vec v\;\):
\[\left( {4,2,1} \right) = \alpha \left( {2, - 3,4} \right) + \beta .\left( { - 5,1,0} \right)\]
\[\left( {4,2,1} \right) = \left( {2\alpha , - 3\alpha ,4\alpha } \right) + \left( { - 5\beta ,1\beta ,0} \right)\]
\[\left( {4,2,1} \right) = \left( {2\alpha - 5\beta , - 3\alpha + 1\beta ,4\alpha } \right)\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\alpha - 5\beta = 4}\\{ - 3\alpha + \beta = 2}\\{4\alpha = 1}\end{array}} \right.\]
Es un sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas. Podemos despejar \(\alpha \;y\;\beta \) a partir de dos de las ecuaciones (por ejemplo las dos últimas):
\[\alpha = \frac{1}{4}\]
\[\beta = \frac{{11}}{4}\]
Pero luego debemos verificar si estos valores satisfacen primera ecuación.
Reemplazamos en: \(2\alpha - 5\beta = 4\):
\[\frac{2}{4} - \frac{{55}}{4} \ne 4\]
No se verifica la ecuación, por lo tanto no existen los escalares \(\alpha \;y\;\beta \) que satisfagan la igualdad. En otras palabras, diremos que \(\vec w\) no es una combinación lineal de \(\vec u\) y de \(\vec v\).
Como puede observarse en la imagen, los tres vectores no están contenidos en un mismo plano (no son coplanares), entonces ninguno de ellos puede obtenerse como combinación lineal de los otros dos:
