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Título: Introducción a los sistemas lineales con un pasatiempo
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Ecuaciones y sistemas
Nivel/Edad: 2º ESO (14 a 15 años)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional
Hay una tendencia a tratar de asociar o encontrar en todo aquello que es bello la proporción áurea o divina, o a construir objetos a partir de esta razón porque se presuponen serán apreciados como bellos por el simple hecho de seguir dicha pauta. Esto, como no, también ha acontecido con la modelación matemática de la concha del Nautilus pompilius sobre la que suele afirmarse que su forma y crecimiento es áureo. Sin embargo, en este artículo se muestra y se analiza en detalle cómo dicha concha lo que realmente sigue es un patrón ubicado en la denominada proporción cordobesa o humana. Con apoyo en un recurso interactivo desarrollado con la herramienta Descartes se motiva el análisis y comportamiento y se procede a partir de la yocto-yotta realidad observada a construir el modelo matemático, el cual se detalla ampliamente.
Pulsando sobre la siguiente imagen se accede a dicho recurso interactivo que se aborda o plantea en seis fases:
- Ajuste de la concha por una espiral logarítmica.
- Ajuste del sifúnculo por una espiral logarítmica.
- Ajuste global por una familia de espirales cordobesas.
- Mejora del modelo discreto.
- Aproximación de los septos.
- Modelo matemático del Nautilus pompilius.
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En cada fase se dispone de un botón de información que, al pulsarlo, da acceso a un detalle de las propiedades que pueden inducirse a partir de la interacción con la escena. |
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| Y en el botón de indicaciones se aborda una introducción, los objetivos, las instrucciones de uso en cada fase y finalmente se enlaza un artículo donde se detalla el análisis matemático realizado. Este artículo está embebido a continuación o bien puede abrirse y/o descargarse desde este enlace. |
En las conclusiones del artículo anterior afirmamos:
A través del detallado y progresivo análisis realizado hemos ido construyendo la base teórica o modelo matemático que soporta a la bella morfología del Nautilus Pompilius y hemos tratado del encontrar el modelo de crecimiento que conduce a poder explicar y a comprender por qué adquiere esa forma. Desde su inicio la espiral logarítmica cordobesa tomó presencia y a medida que la mirada se deslizaba hacia algún nuevo detalle esta espiral ha vuelto a imponer su presencia marcándonos y alumbrándonos el camino del descubrimiento y de la adquisición del conocimiento. La belleza del Nautilus pompilius se sustenta en la proporción cordobesa o humana y todo punto de su concha o del interior ha quedado determinado por la intersección de dos espirales cordobesas. El germen o base inicial matemática que explica el por qué acontece todo lo observado, se ha ubicado en el crecimiento gnomónico de un triángulo cordobés, las propiedades de éste se trasladan al desarrollo y comportamiento global detectado y modelado.
Deseamos que nuestro trabajo de investigación satisfaga tu curiosidad y te animamos a interactuar con nosotros bien realizando algún comentario en este blog (los comentarios no se publicarán directamente sino que pasan por una moderación previa a su publicación) o bien escribe al correo de nuestra RED Descartes: Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo..
Título: Sobre el crecimiento cordobés del Nautilus Pompilius
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría plana
Nivel/Edad: Universidad (18 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez, Ángel Cabezudo Bueno e Ildefonso Fernández Trujillo
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Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
https://proyectodescartes.org/miscelanea/index.htm - Ver Créditos
Este material está publicado bajo una licencia:
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional
Proporcionalidad. Las Espirales XIV
Entre las innovaciones producidas en el ámbito de colaboración de la Red Educativa Digital Descartes destaca la continua aportación de nuevas unidades a los subproyectos: TELESECUNDARIA, GEOgráfica-GEOevaluación e iCartesiLibri.
Como muestra enlazamos la unidad sobre Como se mueven las cosas. Aceleración, del subproyecto TELESECUNDARIA,
la GEOevaluación de SurAmérica,
y el libro interactivo Paletización y Empaque.
Dentro de nuestro ámbito local destacan, entre otras, la permanente actualización del Proyecto ED@D cuyos materiales pueden enlazarse desde este espacio web mediante los botones MATEMÁTICAS y FÍSICA Y QUÍMICA y los contenidos del subproyecto Competencias en general y en particular los referidos como PISA con ordenador. De entre ellos enlazamos, con la siguiente imagen, el extraordinario trabajo sobre la generación de energia Central eléctrica azul
Continuando con el estudio de los l.g. y sus utilidades se expone a continuación una escena con el instrumento ideado por la escuela platónica para duplicar un cubo, esto es, dado un cubo de arista a y volumen V halla de forma mecánica y basandose en los razonamientos de Hipócrates, el segmento de longitud a'= a·21/3 que será la arista del cubo de volumen V' = 2·V.
La escena permite, con cierta facilidad, determinar el segmento OD pero si el usuario no está familiarizado con el uso del instrumento puede pulsar el botón de información, 
, que muestra un breve texto con las indicaciones adecuadas y una demostración, que usa la construcción de Platón, o atribuida a la escuela platónica, del hecho de la duplicidad.
La utilidad es facilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que el usuario considere convenientes para su uso personal.
En el siguiente trabajo presentamos el instrumento conocido como Mesolabio de Eratóstenes y la manera de encontrar, con su uso virtual, el segmento que sirva de arista al cubo que doble en volumen a uno inicial dado.
Repetimos lo dicho anteriormente: la escena permite, con cierta facilidad, determinar la arista del cubo con volumen doble a uno dado, pero si el usuario no está familiarizado con el uso del instrumento puede pulsar el botón de información, , que muestra un breve texto con las indicaciones adecuadas y una demostración, que usa la semejanza de triángulos, del hecho de la duplicidad.
En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la tercera parte de los que se han mostrado en las últimas entradas. El objetivo de este vídeo es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Las Espirales".
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" hemos añadido al menú de tipos de espiral una nueva opción: "la espiral Compleja" tal y como anunciamos en artículos anteriores.
En esta ocasión hemos procedido de la siguiente manera:
- Se ha creado la siguiente escena: Espiral compleja. El crecimiento de esta espiral, tal y como se ha construido, es extremadamente rápido debido al factor rn el lector puede modificar facilmente el comportamiento de la escena añadiendo más controles y/o modificando el rango de valores de los actuales.
La demostración de las fórmulas (teoremas) de Moivre y Euler están disponibles en la wikipedia. - Inclusión de parte del código de la escena anterior en el de la miscelánea en proyecto.
La escena del proyecto puede verse a continuación:
Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral Compleja incluida.
Con el siguiente trabajo realizado con GeoGebra, tendremos la oportunidad de manejar, virtualmente, un mesolabio para hallar la arista de un cubo que tenga doble volumen que uno dado. Esto es, partiremos de esta situación
y trataremos de llegar a esta otra
solución
al manipular los controles gráficos G y K y conseguir el objetivo, se muestran las dos medias proporcionales, FR e IS, propuestas por Hipócrates, entre dos segmentos, MT y DA, de longitudes a y 2·a respectivamente, donde a es la longitud de la arista del cubo inicial. La recta determina el segmento que se usará de arista del cubo de volumen doble al primero.
Con ayuda de los cursores y seleccionando alternativamente con el ratón los puntos G y K el ajuste puede ser bastante exacto tal y como muestra la imagen solución.
Se ha creado el recurso en la web de GeoGebra: 'Las espirales complejas.
En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo nuevas espirales entre sus funcionalidades y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografia:
- Documentación de Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez y Benjamin R. Sarmiento Lugo
- El problema de la Duplicación del cubo de Juana Contreras S. y Claudio del Pino O. Instituto de Matemática y Física. Universidad de Talca.
- Una aproximación a la curva de transición Clotoide vista desde Mathematica de:
Luís Blanch, Emilio Checa, Josefa Marín
Universitat Politecnica de Valencia
Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo., Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo., Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo. - Problema de la duplicación del cubo de Juan Pablo Mora.
- Consideraciones sobre los complejos y las espirales de:
Miguel Ángel Morales Medina - Otros documentos buscados en Internet.
Ildefonso Fernández Trujillo
Proporcionalidad. Las Espirales XII
Entre las innovaciones producidas en el ámbito de colaboración de la Red Educativa Digital Descartes destaca la continua aportación de nuevas unidades a los subproyectos: TELESECUNDARIA, GEOgráfica-GEOevaluación y PLANTILLAS.
Como muestra enlazamos la unidad sobre Crecimiento Exponencial, del subproyecto TELESECUNDARIA,
la GEOevaluación de los estados y ciudades de México.
y el ejemplo de: Asocia parejas de imágenes y textos (2).
Dentro de nuestro ámbito local destacan, entre otras, la permanente actualización del Proyecto ED@D en particular los materiales de 2º y 4º LOMCE y las adaptaciones de los trabajos de Javier de la Escosura Caballero: "Geometría dinámica del trángulo" que enlazamos a continuación
y el de Cuadrilateralia, donde se fomenta el estudio y conocimiento de las características matemáticas de los objetos mediante la manipulación virtual de los mismos y que enlazamos con la imagen siguiente.
Continuando con el estudio de los l.g. y sus utilidades se expone a continuación una escena con el primero de los métodos para trisecar un ángulo con la Concoide de Nicomedes. El ángulo a trisecar es el formado por el eje polar y la recta que une el polo con el punto que se desplaza por la directriz.
El análisis de la escena y su modificación, fundamentalmente en la situación del tercio del ángulo mencionado anteriormente, nos lleva a descubrir interesantes características de la Concoide. También son interesantes las modificaciones funcionales que mejoren las prestaciones de la utilidad.
Mencionar, por último, que la escena es copia de la que en su día publicó el profesor Pedro González Enríquez en su trabajo sobre las trisectrices.
Entradas anteriores mostraban, paso a paso y exhaustivamente, escenas interactivas con la creación de lugares geométricos (l.g.) por uno y dos puntos y algunas de las utilidades de los l.g. generados por un punto, en la actual comenzamos a mostrar algunos de los usos de la Concoide.
En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido, debido a su calidad e interés, el mismo que en la entrada anterior, que muestra con una belleza y claridad incuestionables la relación de la espiral con el origen del conocimiento tanto física como metafísicamente y son de especial relevancia la calidad de las fotografías y composiciones expuestas. El objetivo de este vídeo es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Las Espirales.
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" hemos añadido al menú de tipos de espiral una nueva opción: "la espiral de Lituus" tal y como anunciamos en artículos anteriores.
En esta ocasión hemos procedido de la siguiente manera:
- Hemos creado la siguiente escena: Espiral de Lituus
- Inclusión de parte del código de la escena anterior en el de la miscelánea en proyecto.
La escena del proyecto puede verse a continuación:
Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral de Lituus incluida.
También, relacionado con el tema de los lugares geométricos (l.g.) y la trisección del ángulo, hemos incluido los trabajos realizados con el programa GeoGebra donde se muestran dos metodos para trisecar un ángulo con la Concoide de Nicomedes.
Método 1.
En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo nuevas espirales entre sus funcionalidades y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Ildefonso Fernández Trujillo
Proporcionalidad. Las Espirales XI
Entre las innovaciones producidas en el ámbito de colaboración de la Red Educativa Digital Descartes destaca la continua aportación de nuevas unidades a los subproyectos: TELESECUNDARIA, GEOgráfica-GEOevaluación y PLANTILLAS.
Como muestra enlazamos la unidad sobre Ángulos en la circunferencia, del subproyecto TELESECUNDARIA,
la GEOevaluación de Asia
y los ejemplos de Puzle de intercambio de imágenes tipo 2 donde Descartes realiza directamente el troceado en 4x4 de las imágenes, del subproyecto PLANTILLAS.
Dentro de nuestro ámbito local destacan, entre otras, las Misceláneas sobre las espirales y los lugares geométricos, todas ellas de indudable valor en cuanto establecen un hito en el estudio de estos objetos matemáticos. Se muestran y/o enlazan a continuación: una escena prolegómeno del estudio del l.g. "Concoide de Nicomedes" para más adelante ver su uso en la trisección de un ángulo, una miscelánea, que es un estudio riguroso y completo sobre las espirales logarítmicas y una segunda que complementa a la anterior. La excelente documentación aportada por ambas es una extraordinaria introducción a estudios más complejos de estos objetos y a la creación de utilidades educativas, dinámicas e interactivas.
Artículos anteriores mostraban, paso a paso y exhaustivamente, escenas interactivas con la creación de lugares geométricos (l.g.) por un punto, el actual muestra, según hemos visto, la creación de la Concoide de Nicomedes que es un l.g. definido por dos puntos, cuya posición depende del desplazamiento de un tercer punto por un eje. En próximas entradas se mostrará como trisecar un ángulo agudo con la Concoide.
En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra con una belleza y claridad incuestionables la relación de la espiral con el origen del conocimiento tanto física como metafísicamente y son de especial relevancia la calidad de las fotografias y composiciones expuestas. El objetivo de este vídeo es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Las Espirales.
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" hemos añadido al menú de tipos de espiral una nueva opción: "la espiral Logarítmica" tal y como anunciamos en artículos anteriores.
En esta ocasión hemos procedido de la siguiente manera:
- Hemos creado la siguiente escena: Espiral Logarítmica
- Inclusión de parte del código de la escena anterior en el de la miscelánea en proyecto.
La escena del proyecto puede verse a continuación:
Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral Logarítmica incluida.
También, relacionado con el tema de los lugares geométricos (l.g.) y sus utilidades, hemos incluido el trabajo realizado con el programa GeoGebra donde se muestra la construcción de la Concoide de Nicomedes para, más tarde, usarla en la trisección de un ángulo.
En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo nuevas espirales entre sus funcionalidades y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a los lectores a colaborar en el proyecto elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Ildefonso Fernández Trujillo
Título: Preguntas de falso y verdadero con imágenes y tiempo
Sección: Plantillas
Bloque: Herramientas de edición
Unidad: Miscelánea
Idioma: Castellano
Autor: Juan Guillermo Rivera Berrío
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Puedes encontrar todas las plantillas en
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Este material está publicado bajo una licencia:
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional
Proporcionalidad. Las Espirales X
Entre las innovaciones producidas en el ámbito de colaboración de la Red Educativa Digital Descartes destaca la continua aportación de nuevas unidades al subproyecto TELESECUNDARIA.
Como muestra, enlazamos la unidad sobre superficies de revolución
También es continuo el flujo de aportación de unidades al apartado GEOevaluación del subproyecto GEOgráfica
En esta ocasión enlazamos la Evaluación de los Estados Unidos de América
Dentro de nuestro ámbito local destacan, entre otras, las Misceláneas sobre las espirales, todas ellas de indudable valor en cuanto establecen un hito en el estudio de estos lugares geométricos aunque, en particular, es de especial interés la creada por Ángel Cabezudo Bueno ya que, además de ser la primera de la serie actual, entronca directamente con la fuente origen de dicha serie, el trabajo de José R. Galo Sanchez sobre las proporciones, la belleza en las Matemáticas y la espiral Cordobesa y es consecuencia de la acertada propuesta de espiral gnomónica Cordobesa, ambas: propuesta y miscelánea se muestran y/o enlazan a continuación.
El artículo anterior mostraba, paso a paso y exhaustivamente escenas interactivas con la creación de un lugar geométrico (l.g.) por un punto común a dos segmentos y por un punto que se mueve linealmente en un segmento mientras este gira alrededor de uno de sus extremos, el actual vuelve a construir la espiral de Arquímedes y también paso a paso e interactivamente muestra como trisecar un ángulo cualquiera y como hallar la cuadratura de cualquier círculo.
A continuación se exponen las escenas interactivas.
- Generación del lugar geométrico conocido como espiral de Arquímedes.
- Trisección de un ángulo mediante la espiral de Arquímedes.
- La cuadratura del círculo mediante la espiral de Arquímedes.
En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la relación de la espiral con la orografía y la interpretación de las señales cosmológicas por las diferentes culturas con objeto de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa.
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" hemos añadido al menú de tipos de espiral una nueva opción: "la espiral Hiperbólica" tal y como anunciamos en artículos anteriores.
En esta ocasión hemos procedido de la siguiente manera:
- Hemos creado la siguiente escena: Espiral Hiperbólica
- Inclusión de parte del código de la escena anterior en el de la miscelánea en proyecto. Dejamos para los lectores interesados la inclusión total y/o personalizada de esta opción.
La escena del proyecto puede verse a continuación:
Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral Hiperbólica incluida.
También, relacionado con el tema de los lugares geométricos (l.g.) y sus utilidades, hemos incluido los siguientes trabajos realizados con el programa GeoGebra: en el primero se muestra el uso de la espiral de Arquímedes para la trisección de un ángulo y en el segundo para la cuadratura del círculo.
En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo nuevas espirales entre sus funcionalidades y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a los lectores a colaborar en el proyecto elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Ildefonso Fernández Trujillo
Título: Preguntas de falso y verdadero con tiempo
Sección: Plantillas
Bloque: Herramientas de edición
Unidad: Miscelánea
Idioma: Castellano
Autor: Juan Guillermo Rivera Berrío
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Puedes encontrar todas las plantillas en
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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional
Título: Integrales trigonométricas
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Integración de funciones
Nivel/Edad: Universidad (18 años en adelante)
Idioma: Castellano
Autoría: Miguel Ángel Cabezón Ochoa
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