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El objeto dibujar funciones cuya gráfica es una línea recta que presentamos hoy pertenece al proyecto miscelánea de la RED y tiene como objetivo aprender a dibujar funciones reales de variable real cuya representación gráfica es una línea recta.
Los coeficientes de las funciones lineales se modifican aleatoriamente y para su representación se puede elegir dados dos puntos o dado un punto y la pendiente. Una vez seleccionada la función y los datos, se inicia una animación que muestra los pasos a seguir. Al finalizar la animación se puede seleccionar un nuevo ejercicio que se puede resolver en el cuaderno y después activar la animación para comprobar si se ha realizado correctamente.
En este vídeo se muestra también cómo embeber un objeto digital en un espacio web, en este caso un curso Moodle, utilizando el código para embeber:
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Lugares geométricos: Epicicloides e Hipocicloides.
Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de los conocidos como "Epicicloides" e "Hipocicloides" que son un tipo de Epi/Hipo Trocoides que a su vez son una clase de las Ruletas.
Dentro del amplio grupo de cicloides analizaremos los ll.gg. generados por un punto de una circunferencia, o dependiente de ella, cuando dicha circunferencia, a la que llamamos generatriz, gira sin deslizar, de forma tangencial, alrededor de otra circunferencia llamada directriz. Esto es, nuestro estudio se centra en uno de los tipos de las curvas planas cíclicas llamadas Ruletas.
Si la generatriz gira por el exterior de la directriz se genera una Epicicloide, que puede ser: ordinaria, epitrocoide acortada o epitrocoide alargada según la posición del punto generador respecto a la circunferencia generatriz de la que depende. Análogamente, si la generatriz gira por el interior de la directriz el l.g. generado es una hipocicloide que a su vez puede ser: ordinaria, hipotrocoide acortada o hipotrocoide alargada según veremos más adelante.
Para llevar a la práctica el estudio se han creado dos escenas: "epitrocoides.html" e "hipotrocoides.html" que se enlazan en la siguiente imagen que muestra como la utilidad "hipotrocoides.html" genera dos ll.gg. uno color rosa conocido como Deltoide (R/r=3) y el otro, de color azul, una hipotrocoide acortada. Esto es así porque se han considerado dos puntos generadores: uno en la circunferencia generatriz y otro, en este caso, interior a la misma. Ver detalles de la escena, dejando repetir la animación, o leer las instrucciones, hasta comprender el proceso de creación de los ll.gg.
Para profundizar en el estudio de los lugares geométricos y en el de uso del editor DescartesJS, hemos elaborado, de forma muy esquemática, las pequeñas utilidades mencionadas anteriormente. Son escenas basadas en la obra del profesor Ricardo Sarandeses Fernández, trabajo que está en proceso de adaptación a las nuevas versiones del editor DescartesJS. A propósito del nuevo editor hemos utilizado, a modo de plantilla, los extraordinarios recursos que la documentación del mismo enlaza en la web de sus creadores. La cantidad de ejemplos-ejercicios ofrecidos hacen que el potencial didáctico y de reutilización de dicha documentación y los ejemplos que la acompañan sea digno de mención ya que con un mínimo esfuerzo, cualquiera de esos abundantes trabajos, puede ser adaptado y servir así de plantilla para un proyecto personal tal como muestran los anteriores y el siguiente enlace.
Introducción al concepto de probabilidad
En ambas escenas, de las dos relacionadas con los ll.gg., se ha puesto especial énfasis en el proceso de elaboración de las ecuaciones paramétricas del l.g. lo que se manifiesta al analizarlas. Por otra parte las dos utilidades pueden ser reducidas a una sola muy fácilmente, lo que dejamos como ejercicio.
Indicamos que:
- Si se desea volver a ver la generación del l.g. o la realización de cualquier actividad desde el principio y con la escena despejada es suficiente con pulsar el botón inicio y efectuar las acciones adecuadas.
- Los pulsadores R, r y a definen la forma de los ll.gg. generados. Estos lugares podrian representarse, una vez configurados, mediante sus ecuaciones paramétricas; aunque hemos elegido visualizar su creación dinámica mediante una animación.
Como en anteriores ocasiones notamos que la utilidad es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
En los siguientes trabajos presentamos una recreación de las escenas anteriores realizadas con el programa GeoGebra con los propósitos de ahondar en el conocimiento de ambas plataformas: GeoGebra y DescartesJS de forma paralela para lograr los objetivos señalados en entradas anteriores.
La siguiente utilidad genera una amplia colección de epicicloides/epitrocoides según los valores que asignemos a los deslizadores. Conviene observar la animación para comprender la influencia que las asignaciones ejercen sobre los gráficos.
hoja de trabajo de las epicicloides
En la escena que enlaza la siguiente imagen se usa la ecuación de la curva para representarla una vez se conocen los valores que la definen.
Cuando el cociente R/r es un número natural la cicloide se completa en la primera vuelta de la generatriz, en cualquier otro caso es conveniente analizar el cociente anterior para preveer el comportamiento de la curva. La utilidad da un máximo de 10 vueltas, valor que puede modificarse para que se adapte dinámicamente a la situación y así hacer una aplicación más eficiente.
Al igual que en el caso de las epicicloides es conveniente analizar la animación.
hoja de trabajo de las hipocicloides
Proponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
En esta ocasión en la sección de vídeo hemos elegido de nuevo, debido a su indudable interés, dos de entre las muchas composiciones de Milton Donaire publicadas en YouTube.
La primera trata sobre el teorema de Menelao y la segunda sobre el teorema de Giovanni Ceva. El objetivo es el de apreciar la influencia directa, e indirecta, que el conocimiento del triángulo y de las razones geométricas tiene en el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".
Teorema de Menelao
Teorema de Giovanni Ceva
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
- Unidad para el taller de 4º de la E.S.O. "Curvas clásicas en coordenadas paramétricas" del profesor: Ricardo Sarandeses Fernández, que está en proceso de adaptación a la nueva versión del editor DescartesJS.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
Lugares geométricos: Cicloide - Trisectriz de Ceva.
Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento del l.g. conocido como "Trisectriz o cicloide de Tommaso Ceva". Este l.g. resuelve, a finales del siglo XVII, el problema clásico de la trisección de un ángulo pero no como pretendían los antiguos sabios griegos; aunque sí de una forma muy ingeniosa, extraordinariamente bella, dinámica y funcional.
La admiración que el método ideado por Tommaso Ceva despertó en muchos científicos y técnicos propició la creación de numerosos instrumentos mecánicos trisectores de ángulos también llamados Pantógrafos de Ceva la representación gráfica de uno de los cuales se muestra a continuación.
Para profundizar en el estudio del lugar geométrico y en el de uso del editor DescartesJS, hemos elaborado, de forma muy esquemática, las pequeñas utilidades que se muestran a lo largo del capítulo. Son escenas basadas en la obra del profesor Pedro González Enríquez, trabajo que está en proceso de adaptación a las nuevas versiones del editor DescartesJS.
La primera de las escenas muestra la generación dinámica del l.g. conocido como Cicloide-Trisectriz de Ceva de la siguiente manera:
- Establecido un sistema de referencia y considerada una distancia cualquiera, por ejemplo a = 1, se crean los siguientes elementos:
- Con centro en el origen (0,0) y radio r = a se traza una circunferencia.
- Se considera un punto cualquiera, A, de la circunferencia, por ejemplo el (a,0). Este punto es importante pues hará posible, cuando se desplace por la circunferencia, la creación del lugar geométrico.
- Dibujar el punto B que depende de A y cumple dos condiciones: la primera es que debe estar en el eje horizontal y la segunda que su distancia al punto A sea igual a r en nuestro caso a. El punto de coordenadas (2·a·cos(t),0) donde t es el ángulo que la cuerda OA forma con la horizontal, cumple las condiciones. Este punto se mueve en el eje horizontal desde 2·a hasta -2·a y viceversa cada vez que el punto A da una vuelta a la circunferencia según podemos observar en la animación.
- Con centro en el punto B y radio r = a se traza una circunferencia.
- Trazar la cuerda que pasa por el origen de coordenadas y por el punto A. Esta cuerda cortará siempre a ambas circunferencias. Consideramos los puntos de corte A y P.
- El punto P que, solidario con la cuerda, gira alrededor de B y se desplaza por el plano es el punto fundamental ya que genera, en su desplazamiento, el l.g. en estudio.
- Cuando el punto A recorre la circunferencia, el punto P define la Cicloide-Trisectriz de Ceva
- Para observar la generación del l.g. basta con pulsar el botón "anima/para" de la escena.
- Conviene ver, en principio, la generación del l.g. con la curva oculta. También puede ser conveniente ocultar los ángulos pues mostrarlos, durante la primera vuelta del punto P a la circunferencia a la que pertenece, tiene como objetivo comprobar que el l.g. que se está generando es en realidad un trisector.
- Los botones: "ángulos" y "curva" ocultan/muestran, al hacer clic sobre ellos, las gráficas de los ángulos y de la curva y los textos con los valores de los ángulos. La ecuación cartesiana del l.g. es:
(x2 + y2)3 = a2·(3·x2-y2)2
lugar geométricoPara los lectores menos familiarizados con el proceso de creación de escenas DescartesJS indicamos que:
- Si se desea volver a ver la generación del l.g. desde el principio y con la escena despejada es suficiente con pulsar el botón inicio y volver a activar la animación.
- El botón velocidad ajusta la característica que su nombre indica de la animación.
Como en anteriores ocasiones indicamos que la utilidad es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
La escena que exponemos a continuación muestra como el lazo mayor de la "Cicloide-Trisectriz de Tommaso Ceva" es en realidad un trisector de ángulos. Esto se evidencia de la siguiente forma:
- En esta ocasión el punto A, que pertenece a la circunferencia de centro el origen y radio a, es un control gráfico que puede desplazarse por dicha circunferencia modificando el valor del pulsador ángulo.
- El ángulo que el radio OA forma con la horizontal puede controlarse con el pulsador ángulo y su valor se muestra en la parte superior izquierda de la escena. Este es el ángulo que vamos a trisecar de la siguiente forma:
- Por el punto A trazamos una semirrecta horizontal tal como muestra la escena.
- En dicha semirrecta colocamos un control gráfico G.
- Se desplaza el control gráfico G hasta que corta al lazo exterior en el punto adecuado (intersección de semirrecta y lazo). Cuando esto ocurre observamos que el segmento OG forma con la horizontal un ángulo que es la tercera parte del ángulo que forma el radio OA, mostrándose esta situación en la parte superior izquierda de la escena debajo del texto existente. Conviene que el desplazamiento se haga lentamente.
- La determinación de la trisección puede ejecutarse de muy diferentes maneras. De hecho en la escena actual se ha contado con una cierta 'holgura', quizás excesiva, para facilitar la interactividad.
Lazo Trisectriz de Ceva.En los siguientes trabajos presentamos una recreación de las escenas anteriores realizadas con el programa GeoGebra con los propósitos de ahondar en el conocimiento de ambas plataformas: GeoGebra y DescartesJS de forma paralela para lograr los objetivos señalados en entradas anteriores.
La siguiente utilidad genera la trisectriz al desplazar el punto A por la circunferencia.
creación del l.g.En la escena que enlaza la siguiente imagen se usa el lazo de la curva de Ceva como trisector de ángulos.
Lazo trisector de CevaProponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido dos composiciones de Milton Donaire publicadas en YouTube.
La primera trata sobre el teorema de Menelao y la segunda sobre el teorema de Giovanni Ceva. El objetivo es el de apreciar la influencia directa, e indirecta, que el conocimiento del triángulo y de las razones geométricas tiene en el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".Teorema de Menelao
Teorema de Giovanni Ceva
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:- Parte de la Unidad creada por el profesor Pedro González Enríquez que se encuentra en fase de adaptación a DescartesJS.
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
El proyecto Miscelánea de la RED Descartes contiene un conjunto de actividades que tratan aspectos muy variados del currículum de Matemáticas y que se pueden utilizar como apoyo y refuerzo de los temas que se estén trabajando en clase.
Es un conjunto de materiales digitales interactivos, clasificados por temas o por niveles, que han sido diseñados con el objetivo de que el alumnado investigue, deduzca y llegue a conclusiones por sí mismo.
En este video se muestra una pequeña selección de actividades de álgebra y su inserción en un curso Moodle para su aplicación en el aula.
Título: Determinar una función cuya gráfica es una línea recta
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Funciones elementales
Nivel/Edad: 2º ESO (13 a 14 años)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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Título: Jeroglíficos como introducción a las funciones
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Funciones elementales
Nivel/Edad: 2º ESO (13 a 14 años)
Idioma: Castellano
Autoría: Juan Jesús Cañas Escamilla y José R. Galo Sánchez
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Título: Dibujar funciones cuya gráfica es una línea recta
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Funciones elementales
Nivel/Edad: 2º ESO (13 a 14 años)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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Título: Funciones cuya gráfica es una línea recta
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Funciones elementales
Nivel/Edad: 2º ESO (13 a 14 años)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional
Título: Ladrillos algebraicos
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Ecuaciones y sistemas
Nivel/Edad: 2º ESO (13 a 14 años)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional
Título: Ladrillos aritméticos
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: 2º ESO (13 a 14 años)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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