RULETAS CICLOIDALES  

Bloque: Geometría - Nivel: 4º ESO

Curva cicloide


Una ruleta cicloidal es una curva plana que describe la trayectoria de un punto vinculado a una circunferencia, llamada generatriz, que rueda tangencialmente sin deslizarse sobre otra curva plana llamada directriz. Según sea la curva directriz sobre la que rueda la circunferencia, la ruleta cicloidal recibe nombres diferentes. Se llama cicloide a la ruleta cicloidal que rueda sobre una recta. El punto vinculado a la circunferencia puede ser interior, exterior o estar en la circunferencia; en este último caso se dice que la cicloide es normal.

La escena de la derecha muestra, al pulsar el botón animar/parar, como se genera la cicloide normal. El punto vinculado a la circunferencia es el punto P que inicialmete hace contacto con la recta. Consultar las Indicaciones que explica los controles que permiten interaccionar con la escena.

Propiedades

  • La longitud de la trayectoria recorrida por el punto P en una vuelta es 8r y el área bajo el arco correspondiente es 3πr2 es decir 3 veces el área del círculo, que encierra la circunferencia.
    • Calcula la longitud de la trayectoria para una vuelta y el área bajo el arco correspondiente para r=1, 2, 3 y 4 u.d.l
  • La cicloide es una función periódica, es decir el punto P toma la misma posición (altura) sobre la trayectoria a intervalos regulares D=2πr de la variable d, f(d)=f(d+ kD ). D es el periodo de la cicloide y k es el número de vueltas que da la circunferencia.
    • Reduce el valor del radio o en su caso disminuye el zum para poder ver la cicloide para 2 o más periodos.
  • Propiedades físicas (explicación):
    • Braquistócrona
    • Tautócrona

Escena 1

Consideremos ahora dos circunferencias. Si hacemos rodar a una de ellas (circunferencia generatriz) sobre la otra (circunferencia directriz) y seguimos la trayectoria del punto de contacto inicial entre ellas ¿qué figura se generará? ¿cuál es su aspecto? Tendremos que distinguir dos casos:
  • Epicicloide: la circunferencia que rueda es exterior a la que permanece inmovil (escena abajo a izquierda).
  • Hipocicloide: la circunferencia que rueda sea interior a la circunferencia que permanece inmovil (escena abajo a la derecha).

Escena 2
Escena 3

Curva epicicloide

Las epicicloides ordinarias son curvas que  se generan  por un punto P de una circunferencia de radio b  al rotar exteriormente y sin deslizamiento  sobre otra circunferencia de radio a (Escena 2).

Un caso sencillo de epicicloide es aquel en que la relación de radios n=a/b es un número entero. Dando una sola vuelta completamos la epicicloide y ésta tendrá n cúspides o puntos de retroceso.

Puedes verlo en la escena de la derecha variando el radio a pero condicionando a que b sea un divisor, con lo que n=a/b debe valer 1, 2, 3, 4, etc. Así, con a=6 y n=1 tenemos b=6 y una sola cúspide: la curva se llama cardioide (por su forma de corazón); con a=6 y n=2 tenemos que b=3 y dos cúspides: la curva se llama nefroide (por su forma de riñón); etc.

Variar el valor del radio a y probar para distintos valores de n.

El zum nos permite ajustar el tamaño de la epicicloide para que encaje adecuadamente dentro de la escena; así si aumentamos el radio a  al valor 10, con n=1, un zum de valor 12 (valor por defecto) resulta excesivo y conviene reducirlo a 8 o aun menos.


Escena 4
Pero ¿qué sucede cuando  n=a/b no es un número entero? ¿cuántas vueltas deberemos dar para cerrar la curva? Y en esos casos ¿Cuál es el dibujo resultante?

Para contestar a estas preguntas tienes la escena de la derecha. Analicemos el caso en que n=4.2
  1. Obtengamos la fracción irreducible de 4.2 para determinar los radios a y b de las dos circunferencias: n=4.2=42/10=21/5 Consecuentemente a=21 y b=5
  2. Verificamos en la escena que con estos datos la curva no se cierra en una vuelta como en el caso en que n era entero.
  3. Aumentemos sucesivamente el número de vueltas hasta dar con el que cierra la curva. ¡¡Comprobamos que el número de vueltas que cierra la curva es 5 y que el número de cúspides de la epicicloide es 21!!
  4. Ahora observemos la expresión irreducible n=21/5 que obtuvimos en el primer paso y dado que n no es entero y por tanto no se cierra la curva en la primera vuelta, preguntar por las vueltas hay que dar para que se cierre es equivalente a preguntar por qué número hay que multiplicar a n=21/5 para que n sea entero ¡Evidentemente hay que multiplicar por 5 y n se transforma en 21!

Te sugerimos que ensayes con los siguientes valores y respondas en cada caso:

  1. ¿Con cuántas vueltas se cierra la epicicloide correspondiente?
  2. ¿Cuántas cúspides tiene cada epicicloide?. Determina primero el número y luego verifica contándolas.
epicicloide 5.5
 epicicloide 3.8
 epicicloide 2.1
 epicicloide 7.2

Utilizar el zum cuando sea preciso con objeto de visualizar toda la gráfica y con un tamaño adecuado a la escena aunque puedes hacerlo con los valores que desees.


Escena 5

Curva hipocicloide

Las hipocicloides ordinarias son curvas que  se generan  por un punto P de una circunferencia de radio b  al rotar interiormente y sin deslizamiento  sobre otra circunferencia de radio  a

Una caso sencillo de hipocicloide es aquel en que la relación de radios n=a/b es un número entero. Dando una sola vuelta completamos la hipocicloide y ésta tendrá n cúspides.

Puedes verlo en la siguiente Escena 6. Dando valores enteros a n, p.e 3 ,4 ,5,  etc. se obtienen distintas hipocicloides, algunas con nombres especiales (deltoide, astroide,...) que aluden a su forma y que se cierran con la primera vuelta.

Un caso interesante es cuando el radio de la circunferencia directriz es de tamaño doble del de la circunferencia generatriz que rueda interiormente sobre la primera (Ver Escena 3, con n=2, p.e. a=6 y b=3). Podemos observar que el punto generatriz, cuando el centro M gira alrededor del centro O, recorre el diámetro de la circunferencia directriz. Esta hipocicloide tiene 2 cúspides y la forma de un segmento de recta: se denomina Recta de La Hire debido a la descripción hecha por el  astrónomo, físico y matemático francés Philippe de La Hire (1640-1718). recta de La Hire

Cuando n=1, ¿se obtiene alguna curva? ¿qué explicación tiene?

Escena 6

Pero ¿qué sucede cuando a/b no es un número entero? ¿cuántas vueltas deberemos dar para cerrar la curva? Y en esos casos ¿Cuál es el dibujo resultante?.

Para contestar a estas preguntas tienes la escena de la derecha (Escena 7). Analicemos el caso en que n=4.2.

Sigue el procedimiento empleado para la epicicloide cuando n no es entero (Escena 5), obteniendo la fracción irreducible equivalente a 4.2 y determina que la hipocicloice tiene 21 cúspides y se cierra en 5 vueltas.

Esta es la imagen que debes obtener.

hipocicloide 4.2

Te sugerimos que ensayes con los siguientes valores y respondas en cada caso:

  1. ¿Con cuántas vueltas se cierra la hipocicloide correspondiente?
  2. ¿Cuántas cúspides tiene cada hipocicloide?. Determina primero el número y luego verifica contándolas.
hipocicloide 5.5 hipocicloide 3.8 hipocicloide 2.1 hipocicloide 7.2

Utilizar el zum cuando sea preciso con objeto de visualizar toda la gráfica y con el tamaño adecuado a la escena, aunque puedes hacerlo con los valores que desees.


Escena 7

Autoría: Adaptación a DescartesJS por Ildefonso Fernández Trujillo de la miscelánea titulada "LAS CICLOIDES" de Rita Jiménez Igea (año 2005)
Nuevas escenas: Ildefonso Fernández Trujillo - Nuevo Diseño, conceptualización, actividades, indicaciones y redacción: Ángel Cabezudo Bueno (año 2018)
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