Teorema Fundamental del Cálculo
Dada una función integrable en un intervalo
definimos en ese intervalo como
.
Primer teorema fundamental
Si es continua en
entonces es
derivable en y
diremos que es una primitiva de , es
decir
es una función cuya derivada es .
Adicionalmente si
es otra primitiva, entonces
se diferencian en una constante
.
Cuando 0 en ,
entonces
es el valor del
área de la superficie
determinada por la función
el eje de abscisas y las rectas
y . Por tanto el
primer teorema fundamental establece una
relación entre el área y la pendiente de la recta
tangente a la misma, es decir, interrelaciona dos
problemas clásicos que a priori se manifiestan
como no relacionados, pero que se muestran
como las dos caras de una misma moneda.
Segundo teorema fundamental (Regla de
Barrow)
Si es una primitiva de , entonces
Así pues, el cálculo de una integral y en particular
un área, cuando ésta venga determinada por la
integral, se puede calcular sin más que evaluar la
diferencia de una primitiva en los extremos del
intervalo.
Consecuentemente se manifiesta la necesidad de
abordar el cálculo de primitivas.
Observaciones
1. En la escena de la derecha se representa en
color verde la región determinada por la
función el eje de abscisas y las rectas
y . En rojo se representa la función
.
Y en naranja se refleja la recta tangente a
en , es decir, aquella cuya
pendiente es
.
Puede observarse cómo la derivada de la
función primitiva coincide con , que es lo
afirmado en el primer teorema del cálculo
integral.
2. Esta escena también nos permite visualizar
una primitiva de una función. Por ejemplo:
a. Defina
,
polinomio de grado
cero y observe que la
primitiva es una
función afín o
polinómica de primer
grado.
b. Defina
,
polinomio de primer
grado y observe que la
primitiva es una
parábola, polinomio de
segundo grado.
c. Defina
,
polinomio de segundo
grado y observe…
d. Defina
y observe su
primitiva.
e. Exprese la función sobre la que tenga
interés y observe su primitiva.
3. Podemos visualizar varias primitivas sin más
que seleccionar la segunda opción del menú.
Por ejemplo, en la imagen siguiente
observamos algunas correspondientes a
.
Y con el control gráfico izquierdo podemos
desplazar una de ellas para representar
cualquiera de las infinitas primitivas.
4. Se puede comprobar el segundo teorema
fundamental seleccionando la tercera opción
de menú. Se representará a la izquierda un
rectángulo de base la unidad y de altura
. Si con el control gráfico izquierdo
seleccionamos otra primitiva podemos
observar como la altura de ese rectángulo es
la misma, es decir que el valor es
independiente de la primitiva elegida, lo cual
por otra parte es trivial de demostrar, ya que
puesto que todas las primitivas se diferencian
en una constante entonces
.
Adicionalmente se muestra que