La cerradura transitiva de una relación es la mínima relación transitiva que la contiene. Dada una relación \(R\) en un conjunto \(C\) igual a: $$ C = \{ a_0 , a_1 , a_2 , \ldots , a_n\}$$ su cerradura transitiva denotada por \( t(R) \) es: $$ t(R)=R ∪ R^2 ∪ \cdots ∪ R ^n . $$
Puesto que \(t(R)\) siempre contiene a \(R\) por definición, hay que ver que \(t(R)\) es la mínima
relación transitiva que contiene a \( R\)
1 .
Observando que \(t(R) ^2 ⊆ t(R) \) podemos corroborar que efectivamente su cerradura es transitiva.
En esta escena es suficiente tomar \(n = 4 \) dado que \(C = \{1,2,3,4,5\}\).
Para construir un elemento de la relación arrastra un elemento de la columna izquierda a los elementos de la derecha.
[1] Para ver las definiciones y demostraciones de los conceptos y resultados
mencionados, véase por ejemplo:
Rosen K. Discrete Mathematics and its Applications . (6ed. McGraw-Hill, 2007).