Ahora que conocemos cómo es el algoritmo de la división, podemos definir lo que es la divisibilidad. Aunque el conjunto de los números enteros \( \mathbb{Z} \) no es cerrado en la operación del cociente, hay muchos casos en los que un número entero divide a otro, dando como resultado otro entero. Por ejemplo \(2\) divide a \(18\) y \(5\) divide a \(−40\). La división es exacta, es decir el residuo es cero. Así pues, el que \(2\) divida a \(18\) implica la existencia de un cociente, \(9\), tal que \(18 = 2 · 9\), este concepto se conoce como divisibilidad, se puede decir que \(18\) es divisible cuando tiene un divisor diferente de \(1\) de tal forma que su residuo es cero.

Formalmente la divisibilidad se define como:

Sean \(a\) y \(b\) dos números enteros tales que \( a \neq 0\). Diremos que \(a\) divide a \(b\) si existe un número entero \( q \) tal que \( b = a · q\). Suele notarse \( a \mid b \), es decir,

Existen algunas expresiones equivalentes a “\(a\) divide a \(b\)” como, “\(a\) es un divisor de \(b\)” o “\(b\) es múltiplo de \(a\)” o “\(b\) es divisible por \(a\)”.

Ejemplos:

• \(−7\) divide a \(−21\) ya que \(−21 = (−7)3\), con \(3 \epsilon \mathbb{Z} \).
• \(3\) no divide a \(5\) ya que no existe ningún número entero \(q\) tal que \(5 = 3 · q\).

Propiedades

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) tres números enteros, siendo \(a\) y \(b\) distintos de cero. Se verifica que:

• \(1\) divide a “\(a\)” y “\(a\)” divide a \(0\).
• Si “\(a\)” divide a “\(b\)” y “\(b\)” divide a “\(a\)”, entonces \(a = ±b\).
• Si “\(a\)” divide a “\(b\)” y “\(b\)” divide a “\(c\)”, entonces “\(a\)” divide a “\(c\)”.
• Si “\(a\)” divide a “\(b\)” y “\(a\)” divide a “\(c\)”, entonces “\(a\)” divide a \(pb + qc\), cualesquiera que sean \(p\) y \(q\), enteros. (A la expresión \(pb + qc\) se le llama combinación lineal de \(b\) y \(c\) con coeficientes enteros).