Velocidad y aceleración

En el Inicio mencionamos que si la función \(\textbf{r}(t)=f(t)\textbf{i}+g(t)\textbf{j}+h(t)\textbf{k} \) es dos veces diferenciable, podemos obtener vectores de velocidad y de aceleración de la partícula en cada momento \(t\), y éstos determinan su comportamiento.

Si \(\textbf{r}\) es el vector de posición de una partícula que se mueve sobre una curva suave en el espacio, entonces \[\textbf{v}(t)=\frac{d\textbf{r}}{dt}\] es el \(vector\) \(velocidad\) de la partícula y es tangente a la curva. En cualquier momento \(t\), la dirección del vector \(\textbf{v}\) es la \(dirección\) \(del\) \(movimiento\), la magnitud de \(\textbf{v}\) es la \(rapidez\), y la derivada de \(\textbf{v}\), \(\frac{d\textbf{v}}{dt}=\textbf{a}\), si existe, es el \(vector\) \(aceleración\) de la partícula.

Una curva definida por \(\textbf{r}\) es \(suave\) si \(\frac{d\textbf{r}}{dt}\) es contínua y distinta de \(0\), o sea, cuando \(f\), \(g\) y \(h\) tienen primera derivada continua y no son cero simultáneamente.

Marco de Frenet

Hay tres vectores ortogonales que determinan las características de la trayectoria de una partícula en cada punto. Se conoce como \(marco\) \(de\) \(Frenet\) o \(marco\) \(\textbf{TNB}\), pues justamente está compuesto por los vectores representativos de la dirección del movimiento de la partícula, de cómo se curva y de cómo se tuerce. El primer vector es el vector unitario \( \textbf{T}=\frac{\textbf{v}}{|v|}\) tangente a la trayectoria. El segundo representa la dirección en la que gira la trayectoria, el vector normal unitario \(\textbf{N}=\frac{1}{k} \frac{d\textbf{T}}{ds}\), donde \(k\) es la \(curvatura\) y \(s\) es el \(parámetro\) \(de\) \(longitud\) \(de\) \(arco\) de la curva. El tercer vector representa la tendencia del movimiento de la partícula a "torcerse" y está definido como \(\textbf{B}=\textbf{T}\times\textbf{N}\).

En el siguiente video podrás observar cómo es este marco a lo largo de una curva. El círculo azul es un círculo con la misma curvatura que la curva en cada punto.