Objetivos

• Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función algebraica en un punto.
• Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función trascendente en un punto.

Conceptos básicos

Recuerda que la tangente a la circunferencia en uno de sus puntos se define como la recta que la toca únicamente en ese punto, pero esta definición no sirve para otras curvas. Por ejemplo, si giras la recta de la figura siguiente tomándola del punto verde, observarás que hay muchas rectas que cumplen con la propiedad de intersecar a la curva de la figura sólo en $P$.

Recordarás que la secante a una circunferencia es una recta que la corta en dos puntos. La tangente a la circunferencia en $P$ se puede definir también como la recta a la que se aproximan las secantes que pasan por $P$ y $Q$ cuando $Q$ se aproxima a $P$. La ventaja de esta definición es que se puede extender a otras curvas.

Recuerda que las rectas que pasan por $P=(x_{P},y_{P})$ se describen algebráicamente mediante la ecuación $y=y_{P}+m(x-x_{P})$, y que, si sabemos que la recta pasa por otro punto $Q$, se puede obtener $m$, la pendiente, sustituyendo, en la ecuación, a $x$ y $y$ por las coordenadas de $Q=(x_{Q}, y_{Q})$ y despejando:

$$m_{PQ}=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}$$

En la escena anterior podrás observar que cuando $Q$ se aproxima a $P$, la pendiente de las rectas secantes de la circunferencia que pasan por $Q$ y $P$ tienden a la pendiente de la tangente.

Procedimiento

De la misma manera, cuando la curva es la gráfica de una función $f$, la tangente en uno de sus puntos, $P=(x_{0},y_{0})=(x_{0},f(x_{0}))$, es la recta a la que se aproximan las secantes $PQ$, cuando $Q$, que también es un punto de la gráfica, se acerca a $P$.

La ecuación de cualquiera de estas secantes $PQ$, para $Q=(x_{1},f(x_{1}))$, es $y=y_{0}+m_{PQ}·(x-x_{0})$, donde $m_{PQ}=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$.

Y, como la pendiente de las secantes se aproxima a la pendiente de la tangente, se tiene que

$$m_{tangente}=\lim_{P \to Q}{m_{PQ}} =\lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$$

Pero este límite, cuando existe, es la derivada de la función $f$ en el punto $x_{0}$. Así que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $P=(x_{0},y_{0})=(x_{0},f(x_{0}))$ es $y=y_{0}+f'(x_{0})·(x-x_{0})$.

Ejemplos

Aplicaciones

Euclides descubrió que cuando la luz choca contra un espejo o una superficie brillante plana se refleja de manera que el ángulo que forma el rayo que choca con el plano, ángulo de incidencia, es igual al ángulo que forman ese mismo plano y el rayo que se refleja. Cuando la superficie es curva, esta misma ley de reflexión se cumple para los ángulos que forman los rayos incidentes y reflejados con la tangente a la curva. Para un espejo parabólico, obtenido al girar un tramo de la parábola $y=\frac{1}{4p}x^{2}$ sobre el eje $Y$, con una fuente de luz colocada en el foco de la parábola, ¿hacia dónde se dirigen los rayos reflejados?

Esto ocurre para todo punto $P$ de la superficie y explica por qué a los faros se les da forma parabólica. En sentido contrario, si la incidencia sobre $P$ es de una señal luminosa, o de otro tipo, que llega a una superficie parabólica con dirección paralela al eje, la señal reflejada se concentra en el foco. Los platos de las antenas parabólicas, de los radiotelescopios y los concentradores parabólicos de energía solar usan este resultado.

Ejercicios