La tangente de la suma y resta de ángulos: una aplicación

Fórmulas para la tangente de la suma y resta de ángulos

Ya has revisado las razones trigonométricas y sabes que la tangente puede escribirse como el cociente del seno entre el coseno. Es decir, $tan(a)=\frac{sin(a)}{cos(a)}$. Veamos, a partir de esa razón, cuál es la expresión para $tan(a+b)$ y $tan(a-b)$.

$tan(a+b)=\frac{sin(a+b)}{cos(a+b)}$. Expresamos el seno y coseno en dicha fórmula con las expresiones ya vistas: $tan(a+b)=\frac{sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)}$. Para simplificar, dividimos tanto numerador como denominador por la misma cantidad. Dicha cantidad es $cos(a)cos(b)$. Así pues, nuestra expresión queda: $tan(a+b)=\frac{\frac{sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)}}{\frac{cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)}{cos(a)cos(b)}}$. De donde:

$$tan(a+b)=\frac{tan(a)+tan(b)}{1-{tan(a)tan(b)}}$$

Nota que en el último paso se cancelan varios cosenos, pero además también reescribimos términos de seno entre coseno nuevamente como una tangente.

Con esta misma estrategia podemos obtener una expresión para $tan(a-b)$. $tan(a-b)=\frac{sin(a-b)}{cos(a-b)}=\frac{sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)+sin(a)cos(b)}$. Si ahora dividimos numerador y denominador por la misma expresión (nuevamente usamos $cos(a)cos(b)$), obtenemos que:

$$tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}$$

Fórmula para la pendiente entre rectas

En la siguiente imagen, puedes notar dos rectas que se intersecan. La primera recta hace un ángulo $a$ con las abscisas y la segunda hace un ángulo $b$.

Observa que el ángulo interno de arriba resulta ser simplemente $a-b$.

De la unidad sobre rectas y sus pendientes aprendiste que hay 2 formas de medir la inclinación de una recta respecto a las abscisas. Una es mediante el ángulo, y la otra es mediante la pendiente. Y también aprendiste que la fórmula de relacionar ambas es mediante la función tangente. Esto es, $m=tan(q)$. Es decir, si tu recta hace un ángulo $q$ con las abscisas, la tangente de ese ángulo será la pendiente de la recta.

De tal forma que, si quisieras calcular la pendiente entre dos rectas cualesquiera, basta con tomar la tangente del ángulo que forman. En este ejemplo, el ángulo que las rectas forman es $a-b$. Así, $tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}$. Llamemos $m_{ab}$ a la pendiente entre estas 2 rectas. Esa pendiente es, como lo hemos notado, $tan(a-b)$, de la misma forma que la pendiente de la recta verde es $m_b=tan(b)$ y la pendiente de la recta azul es $m_a=tan(a)$. Sustituyendo dichas equivalencias, obtenemos que $m_{ab}=\frac{m_a-m_b}{1+m_am_b}$.

Si recuerdas la unidad sobre paralelismo y perpendicularidad, ésta es la fórmula que te permitía calcular la pendiente entre 2 rectas. Y es a partir de dicha fórmula que obtuvimos los criterios que determinan, a partir de sus pendientes, si dos rectas son paralelas y perpendiculares. Ahora ya sabes de dónde viene dicha fórmula. Es, finalmente, una aplicación de las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos.

Ahora ya estás listo para avanzar a la parte de ejercicios.