Desigualdades

Nociones básicas

Veamos qué son las desigualdades ubicando algunos números sobre la recta numérica.

Si un número \(a\) se encuentra a la derecha del \(0\), entonces decimos que \(a > 0\).

Por otra parte, si un número \(b\) se encuentra a la izquierda del \(0\), entonces decimos que \(b < 0\).

Por último, decimos que \(a > b\) si se cumple que \(a - b > 0\).

Y de la misma forma \(a < b\) si \(a - b < 0\).

En general sobre la recta numérica, para cualesquiera dos números \(a\) y \(b\), podemos decir que \(a > b\) si \(b\) se encuentra a la izquierda de \(a\) y podemos decir que \(a < b\) si \(a\) se encuentra a la izquierda de \(b\).

Definiciones de las desigualdades

Las desigualdades cumplen con las siguientes definiciones:

Transitividad: para cualesquiera tres números reales \(a\), \(b\) y \(c\) se cumple que:

• Si \(a > b\) y \(b > c\) entonces \(a > c\).
• Si \(a < b\) y \(b < c\) entonces \(a < c\).
• Si \(a > b\) y \(b = c\) entonces \(a > c\).
• Si \(a < b\) y \(b = c\) entonces \(a < c\).

Adición: para cualesquiera tres números reales \(a\), \(b\) y \(c\) se cumple que:

• Si \(a > b\) entonces \(a + c > b + c\).
• Si \(a < b\) entonces \(a + c < b + c\).

Sustracción: para cualesquiera tres números reales \(a\), \(b\) y \(c\) se cumple que:

• Si \(a > b\) entonces \(a - c > b - c\).
• Si \(a < b\) entonces \(a - c < b - c\).

Multiplicación: para cualesquiera tres números reales \(a\), \(b\) y \(c\), con \(c\) diferente de cero, se cumple que:

• Si \(c > 0\) y \(a < b\) entonces \(ac < bc\).
• Si \(c < 0\) y \(a < b\) entonces \(ac > bc\).

División: para cualesquiera tres números reales \(a\), \(b\) y \(c\), con \(c\) diferente de cero, se cumple que:

• Si \(c > 0\) y \(a < b\) entonces \(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\).
• Si \(c < 0\) y \(a < b\) entonces \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\).

Hay que tener cuidado con estas dos últimas definiciones, ya que suelen olvidarse cuando se realizan operaciones con desigualdades. Recuerda: cuando se multiplica o divide por un número negativo, el operador de la desigualdad cambia.