Reflexiones y aplicaciones

La inducción matemática nos ayuda a demostrar que una fórmula o razonamiento es verdadero, siempre y cuando este se pueda poner en términos sucesivos, es decir que de alguna manera se pueda definir por medio de una serie de números enteros positivos. Por ejemplo, con las torres de Hanoi, se puede utilizar este método de demostración porque podemos obtener la fórmula utilizando el número de discos, sabiendo que para una torre de ( $n$ ) discos, tendremos que hacer ( $2^n -1$ ) movimientos.

Cajero automático

El método de inducción matemática se puede utilizar para demostrar que es verdad una aseveración que no es estrictamente una fórmula. Veamos el siguiente problema :

Problema

Tenemos un cajero automático, el cual este mes sólo tiene billetes de $200 y $500. Aún así, el personal del banco sabe que este puede surtir cualquier cantidad de dinero (múltiplo de $100) mayor que o igual a $400 que se le solicite.
Nota: Suponemos que el cajero tiene suficiente dinero como para surtir todas las transacciones del mes y que no hay límite en el monto del retiro, a excepción de la cantidad de dinero que tenga cada cliente en su cuenta.

Demostremos por inducción que que esto es verdadero.

Para simplificarnos las cosas, expresemos la cantidad que nos pidan como : $n \times 100$ , así por ejemplo tendríamos que: $\begin{align} \$ 100 &= 1 \times 100 \\ \$ 500 &= 5 \times 100 \\ \$ 1500 &= 15 \times 100 \\ \end{align}$

Antes de demostrar el problema exploremos un poco cómo surtir el dinero que se le podría pedir al cajero. Recuerda que sólo puede dar múltiplos de $100 mayores que o iguales a $400.

Marca con los pulsadores cuántos billetes de $200 y $500 se necesitan para dar como resultado la cantidad que se indica del lado izquierdo. Después de que aciertes 5 cantidades se revelarán más abajo los siguientes pasos.

60,100 = ▲▼ × 200 + ▲▼ × 500

Caso base Esperando a tener paso anterior ...

Selecciona en el menú la expresión que modele nuestro problema y con la que puedes armar el caso base. Cuando encuentres la expresión adecuada se revelarán los siguientes pasos de la demostración en la parte inferior.

Expresión :

n × 100 =

Entonces, si utilizamos esta expresión para surtir $400, tenemos: $4 \times 100 = 2 \times 200 + 0 \times 500$ Con esto tenemos un caso base donde se cumple la expresión.

Hipótesis de inducción Esperando a tener paso anterior ...

Entonces supongamos que es valido para

$n$ , es decir, existen

$k$ y

$m$ tal que:

$n \times 200 = k \times 200 + m \times 500$

Paso inductivo Esperando a tener paso anterior ...

Sabemos que para

$n$ existen

$k$ y

$m$ tal que :

$n \times 100 = k \times 200 + m \times 500$ Podemos sumar $100

$n \times 100 + 100 = k \times 200 + m \times 500 + 100$ Y de aquí podemos ver dos casos:

Si tenemos que para surtir $n$ por lo menos se usa un billete de $500 ( $m > 0$ ), entonces remplazamos ese billete más los $100 nuevos por tres de $200: $\begin{align} n \times 100 + 100 &= k \times 200 + m \times 500 + 100 \\ n \times 100 + 100 &= k \times 200 + (m-1) \times 500 + 500 + 100 \\ n \times 100 + 100 &= k \times 200 + (m-1) \times 500 + 600 \\ n \times 100 + 100 &= k \times 200 + (m-1) \times 500 + 3 \times 200 \\ n \times 100 + 100 &= (k+3) \times 200 + (m-1) \times 500\\ \\ (n+1) \times 100 &= (k+3) \times 200 + (m-1) \times 500 \\ \end{align}$ EL único problema sería que $m - 1$ fuera menor que 0, pero dijimos que por lo menos teníamos un billete de $500; por eso lo menos que puede valer $m - 1$ es 0 y sigue siendo válido.
Si tenemos que para surtir $n$ sólo se usa un billete de $200 ( $m = 0$ ), entonces podemos tomar 2 billetes de $200 y junto con los $100 nuevos lo remplazamos por uno de $500: $\begin{align} n \times 100 + 100 &= k \times 200 + 100 \\ n \times 100 + 100 &= (k-2) \times 200 + 2 \times 200 + 100 \\ n \times 100 + 100 &= (k-2) \times 200 + 400 + 100 \\ n \times 100 + 100 &= (k-2) \times 200 + 500 \\ n \times 100 + 100 &= (k-2) \times 200 + 1 \times 500 \\ \\ (n+1) \times 100 &= (k-2) \times 200 + 1 \times 500 \\ \end{align}$ Lo que puede fallar aquí es que $k -2$ sea menor que 0, pero eso no puede ocurrir porque lo mínimo que dijimos que se va a surtir son $400 o $2 \times 200$ . Entonces $k-2$ a lo menos es 0 y sigue siendo válido.

Y con estos dos casos ya demostramos que existen dos valores, llamémolos

$k_2$ y

$m_2$ , tal que :

$(n+1) \times 100 = k_2 \times 200 + m_2 \times 500$ Y de esta manera demostramos que el cajero automático puede surtir cualquier cantidad mayor que o igual a $400 con sólo billetes de $200 y $500.

Tarea

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió en el siglo XIX. Mostró grandes habilidades matemáticas desde pequeño y una de las anécdotas más contadas de su niñez es que, a la edad de 7, su profesor castigó a su clase pidiéndoles sumar los números del 1 al 100. Se dice que a los pocos minutos, mientras sus demás compañeros llenaban sus pizarras de sumas, Gauss le entregó el resultado al profesor. Este al ver que el resultado era correcto, quedó sorprendido.

Lo que Gauss hizo fue encontrar una fórmula que le permitía calcular la suma de los primeros $n$ números y la usó para $100$ . La fórmula que encontró fue: ${n (n+1) \over{2}}$ Demuestra por inducción que la fórmula sirve para cualquier número natural, es decir, cuando $n$ vale $1, 2, 3, 4$ , etcétera.

Procura encontrar las respuestas antes de ver la solución.

Solución de la tarea

Para realizar nuestra demostración, sólo seguimos los pasos que ya hemos utilizado antes.

Caso base

Si $n = 1$ , la suma es 1, lo cual es correcto. ${1 (1+1) \over{2}} = {2 \over{2}} = 1$ Y este es nuestro caso base.
Hipótesis de inducción

Entonces supongamos que es válido para $n$ , es decir que : ${n (n+1) \over{2}}$ nos da la suma de los primeros $n$ números.
Paso inductivo

Ahora sumemos el siguiente número, que es $n+1$ , y simplifiquemos : $\begin{align} {n (n+1) \over{2}} + (n + 1) &=\\ {n (n+1) +2(n+1) \over{2}} &=\\ {(n+2) (n+1) \over{2}} &=\\ {(n+1) ((n+1) + 1) \over{2}} & \\ \end{align}$

Y con esto demostramos que la fórmula funciona para cualquier valor de $n$ .

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