PROGRAMACIÓ D'UNA DIETA PER ENCEBAR ANIMALS
S'intenta programar una dieta amb dos aliments A i B.
Una unitat de l'aliment A conté 500 calories; una unitat de B conté 500 calories i 20 grams de proteïnes. La dieta requereix com a mínim 3.000 calories i 80 grams de proteïnes diàries. Si el preu d'una unitat d'A és 8 i d'una unitat B és 12, quina quantitat d'unitats d'A i de B cal comprar per satisfer les exigències de la dieta a un cost mínim?.
L'esquema següent mostra les quantitats respectives de manera ordenada.
|
a | b | mínim |
Calories | 500 | 500 | 3000 |
Proteïnes | 10 | 20 | 80 |
Preu | 8 | 12 | ? |
És a dir:
x és el nombre d'unitats de l'aliment A.
y és el nombre d'unitats de l'aliment B.
D'acord amb això, la inequació 500x + 500y 3.000 representa la restricció o la condició relativa a les calories.
Així mateix,10x +20y 80 correspon a la restricció referida a la quantitat de proteïnes.
A més, s'ha de complir que x 0 i y
0, ja que en cap cas la quantitat d'aliments A o B no pot ser negativa.
Aleshores, les restriccions del problema són:
1) 500x + 500y 3.000, que equival a x + y
6
2) 10x + 20y
80, que equival a x + 2y
8
(L'equació (1) es va dividir per 500 i la (2) per 10)
Si fem un gràfic d'aquesta situació, tenint en compte que x 0 i y
0, s'obté que:
La regió de color verd és la intersecció dels conjunts solució de les inequacions plantejades i s'anomena regió de solucions factibles, ja que les coordenades de qualsevol dels seus punts satisfan les restriccions imposades.
Ara bé, no s'ha considerat encara el preu possible dels aliments. Si x i y són les quantitats dels aliments A i B, respectivament, i els preus són 8 i 12, llavors la funció cost és:
F = 8x + 12y
Es pot provar que aquesta funció s'optimitza, en aquest cas adoptant un valor mínim, per a aquells valors de x i y que corresponen a un vèrtex en el gràfic.
Vèrtexs Valor de la funció cost
(0,6) x = 0; y = 6 F =8 x 0 + 12 x 6 = 72
F = 72
(4,2) x = 4; y = 2 F =8 x 4 + 12 x 2 = 32 + 24 = 56
F = 56
(8,0) x = 8; y = 0 F =8 x 8 + 12 x 0 = 64
F = 64
Dels tres valors de la funció cost F, el mínim és 56. Correspon a x = 4 i y = 2, és a dir, a 4 unitats d'A i 2 unitats de B.
Aquestes quantitats d'A i B proporcionen un total de calories i proteïnes d'acord amb les exigències plantejades.
4 unitats d'A : 4 x 500 =2.000 calories
2 unitats de B : 2 x 500 =1.000 calories
Total = 3.000 calories
4 unitats d'A : 4 x 10 = 40 grams de proteïnes
2 unitats de B : 2 x 20 = 40 grams de proteïnes
Total = 80 grams de proteïnes
El cost mínim per aconseguir-ho és 56. Amb aquesta quantitat, es poden adquirir 4 unitats de l'aliment A i 2 del B.