Expresiones algebraicas

1. Monomios y polinomios

Valor numérico de un polinomio

La notación numérica que utilizamos tiene mucho que ver con los polinomios. Si en el polinomio de coeficientes 5 2 3,

5x²+ 2x + 3

sustituimos la x por 10, resulta

5·10²+ 2·10 + 3 = 523,

hemos vuelto a la expresión en coeficientes del polinomio, igual ocurre en el sistema sexagesimal con el que contamos las horas, minutos y segundos, si en el polinomio anterior sustituimos la x por 60

5·60²+ 2·60 + 3

obtenemos los 18123 segundos que hay en

5 horas 2 minutos y 3 segundos.

523 es el valor numérico del polinomio en 10 y 18123 es el valor numérico de ese mismo polinomio en 60.

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y hacer unos ejercicios

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id='n1' interfaz='botón' tipo='numérico' región='interior' espacio='E0' nombre='' expresión='(-1,-1,40,40)' valor='0' visible='sí' color='222222' color-int='f0f8ff' negrita='no' cursiva='no' subrayada='no' fuente puntos='12' imagen='imagen3/paralapiz1.png' acción='abrir Escena' parámetro='3q2_ejercicios_resueltos_1c.htm' dibujar-si='' activo-si='' fijo='sí'
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<ajs name="Polinomios" width="382" height="372" code="Descartes.class" >
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<param name="tamaño" value="382x372">
<param name="sonido" value="sí">
<param name="álgebra" value="sí">
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<param name="antialias" value="sí">
<param name="nombre" value="Polinomios">
<param name="Versión" value="5.3.02, 2013-12-06">
<param name="Idioma" value="español">
<param name="Botones" value="créditos='no' config='no' inicio='no' limpiar='no'">

<param name="E_01" value="
tipo='R2' id='pregunta' x='0' y='0' ancho='100%' alto='92' dibujar-si='1' fijo='sí' escala='48' O.x='0' O.y='0' imagen='' despl_imagen='arr-izq' fondo='ffffee' red='no' red10='no' ejes='no' texto='no' números='no' eje-x='' eje-y='' sensible_a_los_movimientos_del_ratón='no'
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tipo='R2' id='E1' x='0' y='92' ancho='100%' alto='239' dibujar-si='1' fijo='sí' escala='17' O.x='-10' O.y='-1' imagen='' despl_imagen='arr-izq' fondo='fff7d7' red='dddddd' red10='no' ejes='no' texto='no' números='no' eje-x='' eje-y='' sensible_a_los_movimientos_del_ratón='no'
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<param name="E_03" value="
tipo='R2' id='controles' x='0' y='331' ancho='100%' alto='100%' dibujar-si='1' fijo='sí' escala='48' O.x='0' O.y='0' imagen='' despl_imagen='arr-izq' fondo='ffffee' red='no' red10='no' ejes='no' texto='no' números='no' eje-x='' eje-y='' sensible_a_los_movimientos_del_ratón='no'
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<param name="C_01" value="
id='p1' interfaz='botón' tipo='numérico' región='interior' espacio='controles' nombre='' expresión='(20,12,22,22)' valor='0' visible='sí' color='222222' color-int='f0f8ff' negrita='no' cursiva='no' subrayada='no' fuente puntos='12' imagen='imagen3/unor.png' acción='calcular' parámetro='p=1;sol=0;P.gm=3;Pa.gm=3' dibujar-si='(p#1)' activo-si='' fijo='sí'
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id='p2' interfaz='botón' tipo='numérico' región='interior' espacio='controles' nombre='' expresión='(60,12,22,22)' valor='0' visible='sí' color='222222' color-int='f0f8ff' negrita='no' cursiva='no' subrayada='no' fuente puntos='12' imagen='imagen3/dosr.png' acción='calcular' parámetro='p=2;sol=0;Q.gm=3;Qa.gm=3' dibujar-si='(p#2)' activo-si='' fijo='sí' pos_mensajes='centro'
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id='Inicio' interfaz='botón' tipo='numérico' región='interior' espacio='controles' nombre='' expresión='(200,10,160,22)' valor='0' visible='sí' color='222222' color-int='f0f8ff' negrita='no' cursiva='no' subrayada='no' fuente puntos='12' imagen='vacio.gif' acción='inicio' parámetro='' dibujar-si='' activo-si='' fijo='sí' pos_mensajes='centro'
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id='valorx' tipo='numérico' interfaz='pulsador' región='interior' espacio='E1' nombre='_._' expresión='(190,85,58,28)' valor='3' incremento='1' min='-9' max='9' discreto='sí' decimales='2' fijo='no' exponencial-si='' visible='sí' acción='calcular' parámetro='sol=0;Pa.valorx=valorx;Qa.valorx=valorx' dibujar-si='' activo-si='' pos_mensajes='centro'
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id='gm' tipo='numérico' interfaz='pulsador' región='interior' espacio='pregunta' nombre='gm' expresión='(0,0,100,23)' valor='3' incremento='0.1' min='' max='' discreto='no' decimales='2' fijo='sí' exponencial-si='' visible='sí' acción='' parámetro='' dibujar-si='0' activo-si='0' pos_mensajes='centro'
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id='solucion' interfaz='botón' tipo='numérico' región='interior' espacio='E1' nombre='' expresión='(60,197,280,28)' valor='0' visible='no' color='222222' color-int='f0f8ff' negrita='no' cursiva='no' subrayada='no' fuente puntos='12' imagen='vacio.gif' acción='calcular' parámetro='sol=1;Pa.valorx=valorx;Qa.valorx=valorx' dibujar-si='sol=0' activo-si='' fijo='sí' pos_mensajes='centro'
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id='mcm(x,y)' algoritmo='no' expresión='x*y/mcd(x,y)' dominio='' local='' inicio='' hacer='' mientras=''
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id='P(x)' algoritmo='no' expresión='(p=1)?(x#0?(P.R5#-1)*P.n5*x^P.R5+(P.R4#-1)*P.n4*x^P.R4+(P.R3#-1)*P.n3*x^P.R3+(P.R2#-1)*P.n2*x^P.R2+(P.R1#-1)*P.n1*x^P.R1:(P.R5=0)*P.n5+(P.R4=0)*P.n4+(P.R3=0)*P.n3+(P.R2=0)*P.n2+(P.R1=0)*P.n1):(valorx#0?(Q.R5#-1)*(Q.n5/Q.d5)*x^Q.R5+(Q.R4#-1)*(Q.n4/Q.d4)*x^Q.R4+(Q.R3#-1)*(Q.n3/Q.d3)*x^Q.R3+(Q.R2#-1)*(Q.n2/Q.d2)*x^Q.R2+(Q.R1#-1)*(Q.n1/Q.d1)*x^Q.R1:(Q.R5=0)*Q.n5/Q.d5+(Q.R4=0)*Q.n4/Q.d4+(Q.R3=0)*Q.n3/Q.d3+(Q.R2=0)*Q.n2/Q.d2+(Q.R1=0)*Q.n1/Q.d1)' dominio='' local='' inicio='' hacer='' mientras=''
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<param name="A_04" value="
id='p' expresión='1' evaluar='una-sola-vez' constante='sí'
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<param name="A_05" value="
id='INICIO' algoritmo='sí' evaluar='una-sola-vez' inicio='' hacer='p=1;gm=3;P.gm=3;Q.gm=3;P.n5=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));P.n4=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));P.n3=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));P.n2=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));P.n1=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));P.d5=1;P.d4=1;P.d3=1;P.d2=1;P.d1=1;P.A5=abs(P.n5)/mcd(abs(P.n5),P.d5);P.A4=abs(P.n4)/mcd(abs(P.n4),P.d4);P.A3=abs(P.n3)/mcd(abs(P.n3),P.d3);P.A2=abs(P.n2)/mcd(abs(P.n2),P.d2);P.A1=abs(P.n1)/mcd(abs(P.n1),P.d1);P.B5=abs(P.d5)/mcd(abs(P.n5),P.d5);P.B4=abs(P.d4)/mcd(abs(P.n4),P.d4);P.B3=abs(P.d3)/mcd(abs(P.n3),P.d3);P.B2=abs(P.d2)/mcd(abs(P.n2),P.d2);P.B1=abs(P.d1)/mcd(abs(P.n1),P.d1);;Q.n5=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));Q.n4=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));Q.n3=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));Q.n2=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));Q.n1=ent(1+rnd*5)*(-1)^(1+ent(rnd*2));Q.d5=ent(1+rnd*5);Q.d4=ent(1+rnd*5);Q.d3=ent(1+rnd*5);Q.d2=ent(1+rnd*5);Q.d1=ent(1+rnd*5);Q.A5=abs(Q.n5)/mcd(abs(Q.n5),Q.d5);Q.A4=abs(Q.n4)/mcd(abs(Q.n4),Q.d4);Q.A3=abs(Q.n3)/mcd(abs(Q.n3),Q.d3);Q.A2=abs(Q.n2)/mcd(abs(Q.n2),Q.d2);Q.A1=abs(Q.n1)/mcd(abs(Q.n1),Q.d1);Q.B5=abs(Q.d5)/mcd(abs(Q.n5),Q.d5);Q.B4=abs(Q.d4)/mcd(abs(Q.n4),Q.d4);Q.B3=abs(Q.d3)/mcd(abs(Q.n3),Q.d3);Q.B2=abs(Q.d2)/mcd(abs(Q.n2),Q.d2);Q.B1=abs(Q.d1)/mcd(abs(Q.n1),Q.d1);;;;' mientras=''
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<param name="A_06" value="
id='grado_maximo' algoritmo='sí' evaluar='siempre' inicio='' hacer='P.gm=3;Q.gm=3;Pa.gm=3;Qa.gm=3;;' mientras=''
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<param name="A_07" value="
id='condiciones' algoritmo='sí' evaluar='siempre' inicio='' hacer='Pa.R5=P.R5;Pa.R4=P.R4;Pa.R3=P.R3;Pa.R2=P.R2;Pa.R1=P.R1;Pa.n5=P.n5;Pa.n4=P.n4;Pa.n3=P.n3;Pa.n2=P.n2;Pa.n1=P.n1;;P.d5=1;P.d4=1;P.d3=1;P.d2=1;P.d1=1;Pa.d5=1;Pa.d4=1;Pa.d3=1;Pa.d2=1;Pa.d1=1;Pa.A5=P.A5;Pa.A4=P.A4;Pa.A3=P.A3;Pa.A2=P.A2;Pa.A1=P.A1;Pa.B5=P.B5;Pa.B4=P.B4;Pa.B3=P.B3;Pa.B2=P.B2;Pa.B1=P.B1;Q.d4=6;Qa.R5=Q.R5;Qa.R4=Q.R4;Qa.R3=Q.R3;Qa.R2=Q.R2;Qa.R1=Q.R1;Qa.n5=Q.n5;Qa.n4=Q.n4;Qa.n3=Q.n3;Qa.n2=Q.n2;Qa.n1=Q.n1;Qa.d5=Q.d5;Qa.d4=Q.d4;Qa.d3=Q.d3;Qa.d2=Q.d2;Qa.d1=Q.d1;Qa.A5=Q.A5;Qa.A4=Q.A4;Qa.A3=Q.A3;Qa.A2=Q.A2;Qa.A1=Q.A1;Qa.B5=Q.B5;Qa.B4=Q.B4;Qa.B3=Q.B3;Qa.B2=Q.B2;Qa.B1=Q.B1;;;;;;;;;' mientras=''
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<param name="A_08" value="
id='valor' algoritmo='sí' evaluar='siempre' inicio='' hacer='Pa.valorx=valorx;Qa.valorx=valorx;D4=(Q.R4#-1)?Q.d4:1;D3=(Q.R3#-1)?Q.d3:1;D2=(Q.R2#-1)?Q.d2:1;D1=(Q.R1#-1)?Q.d1:1;M=mcm(Q.d5,mcm(D4,mcm(D3,mcm(D2,D1))));Nv=(P(valorx)=0)?0:P(valorx)*M/mcd(abs(P(valorx))*M,M);Dv=(P(valorx)=0)?1:M/mcd(abs(P(valorx))*M,M)' mientras=''
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<param name="G_01" value="
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<param name="G_03" value="
espacio='E1' tipo='texto' fondo='no' color='0000cc' dibujar-si='' expresión='[3,36]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Courier New;}\f1\fs36{\*\mjaformula P(x)}=\f2\fs24\par }' decimales='2' fijo='sí' ancho='1' border='' font='SansSerif,PLAIN,18' info=''
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<param name="G_04" value="
espacio='E1' tipo='texto' fondo='no' color='0000ff' dibujar-si='' expresión='[3,148]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Courier New;}\f1\fs36{\*\mjaformula P({\expr valorx\decimals 2\fixed0})}=\f2\fs24\par }' decimales='2' fijo='sí' ancho='1' border='' font='SansSerif,PLAIN,18' info=''
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<param name="G_05" value="
espacio='controles' tipo='texto' fondo='no' color='0000cc' dibujar-si='' expresión='[240,12]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Courier New;}\f1\fs24\b\ul Otros polinomios\f2\fs24\b0\ulnone\par}' decimales='2' fijo='sí' ancho='1' border='' font='SansSerif,BOLD,12' info=''
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<param name="G_06" value="
espacio='E1' tipo='macro' fondo='no' dibujar-si='p=1' coord_abs='no' nombre='P' expresión='3polinomio.txt' familia='' intervalo='' pasos='' inirot='0' inipos='[0,10]' info=''
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espacio='E1' tipo='macro' fondo='no' dibujar-si='p=2' coord_abs='no' nombre='Q' expresión='3polinomio.txt' familia='' intervalo='' pasos='' inirot='0' inipos='[0,10]' info=''
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espacio='E1' tipo='macro' fondo='no' dibujar-si='p=2' coord_abs='no' nombre='Qa' expresión='3polinomiox' familia='' intervalo='' pasos='' inirot='0' inipos='[0,120]' info=''
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espacio='E1' tipo='macro' fondo='no' dibujar-si='p=1' coord_abs='no' nombre='Pa' expresión='3polinomiox' familia='' intervalo='' pasos='' inirot='0' inipos='[0,120]' info=''
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<param name="G_10" value="
espacio='E1' tipo='texto' fondo='no' color='404040' dibujar-si='' expresión='[80,87]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Courier New;}\f1\fs36 Valor de x \u8594 \f2\fs24\par }' decimales='2' fijo='sí' ancho='1' border='' font='SansSerif,PLAIN,18' info=''
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<param name="G_11" value="
espacio='E1' tipo='texto' fondo='no' color='404040' dibujar-si='(sol=1)&((p=1)|(p=2)&(abs(Dv)=1))' expresión='[60,197]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Arial;\f3\fcharset0 Courier New;}{\colortbl\red204\green0\blue0;\red64\green64\blue64;}\f1\fs36 Valor del polinomio en {\*\mjaformula{\expr valorx\decimals 2\fixed0}} \u8594 \ul\cf0{\*\mjaformula{\expr P(valorx)\decimals 2\fixed0}}\cf1\f3\fs24\ulnone\par }' decimales='2' fijo='no' ancho='1' border='' font='SansSerif,PLAIN,18' info=''
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<param name="G_12" value="
espacio='pregunta' tipo='texto' fondo='no' color='404040' dibujar-si='' expresión='[40,15]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Courier New;}\f1\fs24 En la opci\u243 n 1 aparece un polinomio con coeficientes\par enteros, cambia el valor de x para calcular distintos\par valores num\u233 ricos del polinomio.\par En la segunda opci\u243 n los coeficientes son racionales.\par \f2\fs24\par}' decimales='2' fijo='sí' ancho='1' border='' font='SansSerif,PLAIN,12' info=''
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<param name="G_13" value="
espacio='E1' tipo='texto' fondo='no' color='ff9900' dibujar-si='sol=0' expresión='[60,197]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Courier New;}\f1\fs36\ul\ol Ver el resultado del valor num\u233 rico\f2\fs24\ulnone\olnone\par}' decimales='2' fijo='sí' ancho='1' border='' font='Arial,PLAIN,18' info=''
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<param name="G_14" value="
espacio='E1' tipo='texto' fondo='no' color='404040' dibujar-si='(Nv#0)&(sol=1)&(p=2)&(abs(Dv)#1)' expresión='[60,197]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Arial;\f3\fcharset0 Courier New;}{\colortbl\red204\green0\blue0;\red64\green64\blue64;}\f1\fs36 Valor del polinomio en {\*\mjaformula{\expr valorx\decimals 2\fixed0}} \u8594 \cf0\fs40 {\*\mjaformula{\fraction{\num{\expr Nv\decimals 2\fixed0}}{\den{\expr Dv\decimals 2\fixed0}}}}\cf1\f3\fs24\par}' decimales='2' fijo='no' ancho='1' border='' font='Arial,PLAIN,18' info=''
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<param name="G_15" value="
espacio='E1' tipo='texto' fondo='no' color='404040' dibujar-si='(Nv=0)&(sol=1)&(p=2)&(abs(Dv)#1)' expresión='[60,205]' rastro='no' familia='' intervalo='' pasos='' texto='{\rtf1\uc0{\fonttbl\f0\fcharset0 Times New Roman;\f1\fcharset0 Arial;\f2\fcharset0 Arial;\f3\fcharset0 Courier New;}{\colortbl\red204\green0\blue0;\red64\green64\blue64;}\f1\fs36 Valor del polinomio en {\*\mjaformula{\expr valorx\decimals 2\fixed0}} \u8594 \cf0\fs40 \fs36{\*\mjaformula 0}\cf1\f3\fs24\par }' decimales='2' fijo='no' ancho='1' border='' font='SansSerif,PLAIN,18' info=''
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